15 مهر 1404
راز انگاره‌ی پنجم اقلیدس؛ از یونان باستان تا خیام نیشابوری
مقدمه
حدود دو قرن و نیم پیش از میلاد، مردی در اسکندریه تصمیم گرفت تمام دانش ریاضی زمان خود را در یک مجموعه‌ی منظم گردآوری کند. او کسی نبود جز اقلیدس، پدر هندسه. نتیجه‌ی کارش کتابی شد در سیزده جلد با نام مشهور «عناصر» (Elements)؛ اثری که تا قرن‌ها، مرجع اصلی آموزش ریاضیات در جهان باقی ماند.
اما در میان تمام تعاریف، قضایا و فرضیات او، یکی از انگاره‌ها (پُستولات‌ها) دردسرساز شد: انگاره‌ی پنجم. فرضی که خودش هم از آن دل خوشی نداشت و بعدها الهام‌بخش قرن‌ها بحث و تحقیق میان بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان جهان شد.
بدنه
اقلیدس در جلد نخست کتابش، پس از ارائه‌ی تعاریفی بنیادین از «نقطه» و «خط»، پنج انگاره یا فرض اساسی را مطرح کرد؛ اصولی که بدون اثبات، پایه‌ی کل هندسه‌ی او بودند.
پنج انگاره‌ی اقلیدس:
-
از هر دو نقطه، می‌توان تنها یک خط راست کشید.
-
هر خط راست را می‌توان تا بی‌نهایت در هر دو جهت امتداد داد.
-
با هر نقطه و هر شعاع دلخواه، می‌توان دایره‌ای رسم کرد.
-
تمام زوایای قائمه با یکدیگر برابرند.
-
اگر خطی دو خط دیگر را طوری قطع کند که زوایای داخلی آن در یک سمت کمتر از دو زاویه‌ی قائمه باشد، در آن سمت، اگر خطوط را ادامه دهیم، به هم خواهند رسید.
چهار فرض نخست ساده و شهودی‌اند، اما انگاره‌ی پنجم... به طرز عجیبی پیچیده است. حتی خود اقلیدس هم آن را با اکراه پذیرفته بود. بعدها، ریاضی‌دانان بسیاری سعی کردند آن را از دل چهار فرض دیگر اثبات کنند، اما همه ناکام ماندند.
برای ساده‌تر گفتن، انگاره‌ی پنجم در زبان امروز چنین معنا می‌شود:
«از بیرون هر خط راست، تنها یک خط می‌توان رسم کرد که با آن موازی باشد.»
و همین جمله‌ی ساده، سرآغاز تحول بزرگی در ریاضیات شد.
خیام و ماجرای برهان خلف
قرن‌ها بعد، در دنیای اسلامی، نوبت به عمر خیام نیشابوری رسید. او که روی معادلات درجه‌ی سوم (توان سه) کار می‌کرد، تلاش کرد به این مسئله‌ی قدیمی سر و سامان دهد.
خیام روشی متفاوت در پیش گرفت؛ روشی که آن را «برهان خلف» می‌نامند — یعنی فرض کنیم برعکسِ ادعا درست است و ببینیم چه پیش می‌آید.
او گفت: اگر انگاره‌ی پنجم اقلیدس نادرست باشد، دو حالت بیشتر وجود ندارد:
۱. هیچ خط موازی‌ای وجود ندارد.
۲. بیش از یک خط موازی می‌توان رسم کرد.
هرچند خیام نتوانست این مسئله را تا انتها حل کند، اما روش‌ها و بینش‌هایی که ارائه داد، بعدها مبنای کار ریاضی‌دانانی شد که هندسه‌های نااقلیدسی را بنا کردند — هندسه‌هایی که امروزه پایه‌ی نسبیت عام انیشتین‌اند!
نتیجه‌گیری
انگاره‌ی پنجم اقلیدس، بیش از دو هزار سال ذهن بشر را درگیر خود کرده است. از تردیدهای اقلیدس گرفته تا تلاش خیام و سپس کشفیات لوباچفسکی و ریمان، همه نشان می‌دهد که شک‌کردن به بدیهیات، آغاز پیشرفت علم است.
گاهی یک جمله‌ی به ظاهر ساده، می‌تواند مسیر ریاضیات و حتی درک ما از جهان را برای همیشه تغییر دهد.
صدای واقعی تیرکس چه شکلی بوده؟ حقیقتی که هالیوود به ما نگفته!