قضیهٔ فیثاغورس؛ وقتی مساحت‌ها از جبر مهم‌تر بودند

اگر امروز به خودِ فیثاغورس بگوییم:
a² + b² = c²
به احتمال زیاد هیچ ایده‌ای نخواهد داشت که درباره‌ی چه چیزی صحبت می‌کنیم. دلیلش ساده است: این عبارت یک بیان جبری است، در حالی که علم جبر تقریباً دو هزار سال بعد از فیثاغورس شکل گرفت؛ آن هم با نقش پررنگ دانشمندان بزرگی مثل محمد بن موسی خوارزمی.

اما اگر همان جمله را این‌طور بیان کنیم:
مربعِ ضلع اول + مربعِ ضلع دوم = مربعِ وتر
احتمالاً برق در چشمان فیثاغورس می‌افتد؛ چون این دقیقاً زبانی است که او با آن فکر می‌کرد.

فیثاغورس و نگاه هندسی به جهان

فیثاغورس اساساً با عدد و نماد جبری کار نمی‌کرد؛ نگاه او کاملاً هندسی و مساحتی بود.
اگر به یک مثلث قائم‌الزاویه نگاه کنیم و روی هر ضلع آن یک مربع رسم کنیم، سه مربع با سه اندازه‌ی متفاوت به دست می‌آید.

آنچه فیثاغورس مشاهده کرد این بود:

مساحت مربعِ روی ضلع اول
به اضافه‌ی مساحت مربعِ روی ضلع دوم
دقیقاً برابر است با مساحت مربعِ روی وتر

پس قضیه‌ی فیثاغورس در اصل درباره‌ی مساحت‌هاست، نه فرمول‌ها.

آیا این فقط یک ادعاست؟

سؤال مهم اینجاست:
از کجا بدانیم این حرف واقعاً درست است؟

بیایید یکی از ساده‌ترین و زیباترین اثبات‌های هندسی آن را بررسی کنیم.

اثبات با جابه‌جایی مثلث‌ها

فرض کنید یک مثلث قائم‌الزاویه داریم.
حالا از روی آن سه کپی دیگر تهیه می‌کنیم؛ یعنی چهار مثلث کاملاً هم‌اندازه.

اگر این چهار مثلث را به شکل خاصی کنار هم بچینیم:

• یک مربع بزرگ تشکیل می‌شود

• و در مرکز آن، یک مربع کوچک‌تر (یا شکلی شبیه لوزی) باقی می‌ماند

نکته‌ی کلیدی این است:
مساحت قسمت سفید وسط، دقیقاً برابر با مساحت مربعِ روی وتر است.

حالا اگر همین مثلث‌ها را فقط جابه‌جا کنیم (بدون اینکه روی هم بیفتند):

• مساحت فضای خالی تغییری نمی‌کند

• فقط شکل آن عوض می‌شود

در چیدمان جدید، می‌بینیم که فضای سفید به دو مربع جداگانه تبدیل شده است:

• یکی برابر با مساحت مربعِ ضلع اول

• دیگری برابر با مساحت مربعِ ضلع دوم

از آنجا که مساحت فضای سفید در هر دو حالت یکسان است، نتیجه می‌گیریم:

مساحت مربعِ ضلع اول + مساحت مربعِ ضلع دوم = مساحت مربعِ وتر

و این دقیقاً همان قضیه‌ی فیثاغورس است.

اثبات مدرن‌تر؛ روش «اسمارتیز»

برای کسانی که با اثبات‌های بصری حال می‌کنند، یک روش جذاب‌تر هم وجود دارد که به آن روش اسمارتیز می‌گویند (که امروزه بعضی‌ها با شوخی به آن «M&M’s» می‌گویند!).

در این روش:

• مربع‌های روی اضلاع را با مهره‌های یکسان (مثل اسمارتیز) پر می‌کنیم

• سپس می‌بینیم که مهره‌های دو مربع کوچک‌تر، دقیقاً می‌توانند مربع بزرگ‌تر را پر کنند

بدون فرمول، بدون عدد، فقط با شمردن.

اثباتی از این محکم‌تر واقعاً لازم نیست.

جمع‌بندی

قضیه‌ی فیثاغورس در اصل یک حقیقت هندسی و بصری است که بعدها به زبان جبر ترجمه شد.
فیثاغورس با مساحت‌ها فکر می‌کرد، نه با توان و نماد.

همین سادگی و عمق است که باعث شده این قضیه بعد از بیش از دو هزار سال، هنوز یکی از زیباترین پایه‌های ریاضیات باقی بماند.