چرا تقریباً همهٔ فرمول‌های مساحت از «طول ضربدر عرض» شروع می‌شوند؟

مساحت مستطیل همیشه با فرمول سادهٔ طول ضربدر عرض به‌دست می‌آید.
مساحت مربع هم همین‌طور است؛ فقط تفاوتش این است که طول و عرض برابرند.
حتی متوازی‌الاضلاع هم با همین ایده سنجیده می‌شود: اگر گوشهٔ آن را ببریم و به طرف دیگر منتقل کنیم، در واقع آن شکل به یک مستطیل کامل تبدیل می‌شود. پس باز هم طول ضربدر عرض به‌عنوان پایهٔ مساحت ظاهر می‌شود.

مساحت مثلث؛ همان مستطیل نصف‌شده

برای مثلث قائم‌زاویه نیز همین اتفاق رخ می‌دهد.
اگر یک مستطیل را از قطرش نصف کنیم، دقیقاً دو مثلث قائم‌زاویه به ما می‌دهد.
پس مساحت مثلث هم می‌شود:

(طول × عرض) ÷ ۲

استاد بزرگ هندسه، اقلیـدس، در کتاب عناصر که پیش‌تر هم درباره‌اش صحبت کرده‌ایم، تمام مساحت‌ها را از همین نقطه آغاز می‌کند: مستطیل و متوازی‌الاضلاع.
او بیس تمام هندسهٔ مساحتی را بر این فرمول ساده بنا می‌گذارد.

اما دایره چطور؟

دایره در ظاهر ساده است، اما برای محاسبهٔ مساحتش باید دید چگونه می‌شود آن را به اشکال قابل‌محاسبه تبدیل کرد.

تصور کنید یک فریزبی یا بشقاب پرندهٔ اسباب‌بازی را مانند پرتقال پوست‌کنی کنید و برش‌های آن را باز کنید.
اگر این برش‌ها را کنار هم بچینید، می‌توانید شکلی شبیه یک مثلث بزرگ یا حتی یک مستطیل بسازید.
از همین ایده است که در نهایت به فرمول آشنای مساحت دایره می‌رسیم.

روش باستانی؛ پرکردن دایره با مستطیل‌های کوچک

در دوران باستان بسیاری از دانشمندان دایره را با مستطیل‌های خیلی کوچک پر می‌کردند و مجموع مساحت آن‌ها را جمع می‌زدند.
ارشمیدس یکی از اولین کسانی بود که با همین روش توانست مساحت شکل‌های مختلف هندسی را محاسبه کند.

این دقیقاً همان مفهومی است که بعدها با کشف دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیتس به تکامل رسید.